División de polinomios

Para 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato. En Latinoamérica, de 9.º a 11.º grado, aproximadamente.

Cómo se dividen polinomios

Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el del divisor, se multiplica el resultado por todo el divisor y se resta. Se repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor. Siempre se cumple:

Dividendo=divisor⋅cociente+resto\text{Dividendo} = \text{divisor} \cdot \text{cociente} + \text{resto}

La división paso a paso

Vamos a dividir 3x3+5x2+2x+33x^3 + 5x^2 + 2x + 3 entre 3x+23x + 2:

  1. 3x3:3x=x23x^3 : 3x = x^2. Multiplicamos: x2(3x+2)=3x3+2x2x^2(3x + 2) = 3x^3 + 2x^2, y lo restamos: queda 3x2+2x+33x^2 + 2x + 3.
  2. 3x2:3x=x3x^2 : 3x = x. Multiplicamos: x(3x+2)=3x2+2xx(3x + 2) = 3x^2 + 2x, y lo restamos: queda 33.
cociente x2+x,resto 3\text{cociente } x^2 + x, \quad \text{resto } 3

La regla de Ruffini

Cuando el divisor es de la forma x−ax - a, hay un atajo. Para (3x3+5x2+2x+3):(x−2)(3x^3 + 5x^2 + 2x + 3) : (x - 2):

  1. Escribe los coeficientes de mayor a menor grado: 3, 5, 2, 3. Si falta un grado, pon un 0.
  2. A la izquierda va el 2, porque el divisor es x−2x - 2. Para x+2x + 2 iría el −2.
  3. Baja el 3. Multiplica 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 y súmalo al 5: 11. Luego 11⋅2=2211 \cdot 2 = 22, más 2: 24. Luego 24⋅2=4824 \cdot 2 = 48, más 3: 51.
35232622483112451cociente 3x2+11x+24,    resto 51\begin{array}{r|rrrr} & 3 & 5 & 2 & 3 \\ 2 & & 6 & 22 & 48 \\ \hline & 3 & 11 & 24 & 51 \end{array} \qquad \text{cociente } 3x^2 + 11x + 24, \;\; \text{resto } 51

El teorema del resto

El resto de dividir P(x)P(x) entre x−ax - a es P(a)P(a). En el ejemplo anterior:

P(2)=3⋅8+5⋅4+2⋅2+3=51P(2) = 3 \cdot 8 + 5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 3 = 51

Si el resto es 0, x−ax - a es un factor del polinomio. Es la base de la factorización.

Errores frecuentes

  • Poner el número con el signo del divisor

    MalPara x+2x + 2, poner 2 en Ruffini

    BienPara x+2x + 2, poner −2

  • Saltarse un grado que falta

    Malx3+2x−1x^3 + 2x - 1: coeficientes 1, 2, −1

    Bienx3+0x2+2x−1x^3 + 0x^2 + 2x - 1: coeficientes 1, 0, 2, −1

  • Olvidar que el cociente tiene un grado menos

    Mal(x3+…):(x−1)(x^3 + \ldots) : (x - 1) da grado 3

    BienDa grado 2

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. (x2+5x+6):(x+2)(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)cociente x+3,  resto 0\text{cociente } x + 3, \;\text{resto } 0
  2. (2x3−3x2+x−5):(x−1)(2x^3 - 3x^2 + x - 5) : (x - 1)cociente 2x2−x,  resto −5\text{cociente } 2x^2 - x, \;\text{resto } -5
  3. (x3−8):(x−2)(x^3 - 8) : (x - 2)cociente x2+2x+4,  resto 0\text{cociente } x^2 + 2x + 4, \;\text{resto } 0
  4. (x4−3x2+2):(x+1)(x^4 - 3x^2 + 2) : (x + 1)cociente x3−x2−2x+2,  resto 0\text{cociente } x^3 - x^2 - 2x + 2, \;\text{resto } 0
  5. Resto de (x3+2x2−4):(x−2)(x^3 + 2x^2 - 4) : (x - 2)P(2)=8+8−4=12P(2) = 8 + 8 - 4 = 12
  6. (3x3+5x2+2x+3):(3x+2)(3x^3 + 5x^2 + 2x + 3) : (3x + 2)cociente x2+x,  resto 3\text{cociente } x^2 + x, \;\text{resto } 3

Practica sin límite

Divide por Ruffini y escribe el cociente y el resto. Tres niveles: divisiones exactas, con resto, y de grado 4 con términos que faltan. Si pones el número con el signo cambiado o te saltas un 0, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se puede usar Ruffini?

Cuando el divisor es de la forma x−ax - a o x+ax + a.

¿Qué número se pone en Ruffini?

El que hace 0 el divisor: para x−3x - 3 se pone 3, y para x+3x + 3, −3.

¿Qué dice el teorema del resto?

Que el resto de dividir P(x)P(x) entre x−ax - a es P(a)P(a).

¿Cómo compruebo una división?

Multiplica el divisor por el cociente y suma el resto: tiene que darte el dividendo.