Potencias y fracciones

Para 1.º y 2.º de ESO. En Latinoamérica, de 7.º a 8.º grado, aproximadamente.

La regla

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador:

(ab)n=anbn(23)2=2232=49\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

Exponente 0 y exponente 1

(47)0=1(47)1=47\left(\frac{4}{7}\right)^{0} = 1 \qquad \left(\frac{4}{7}\right)^{1} = \frac{4}{7}

Propiedades de las potencias de fracciones

Son las mismas que con números naturales, que tienes en potencias:

  • Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes.(23)2⋅(23)3=(23)5\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{5}
  • Cociente de potencias de la misma base: se restan los exponentes.(34)5:(34)2=(34)3\left(\frac{3}{4}\right)^{5} : \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \left(\frac{3}{4}\right)^{3}
  • Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.[(12)2]3=(12)6\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6}
  • Producto con el mismo exponente: se multiplican las bases.(12)3⋅(45)3=(410)3=(25)3\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{3} = \left(\frac{4}{10}\right)^{3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{3}

Exponente negativo

Un exponente negativo da la vuelta a la fracción, y después se eleva con el exponente positivo:

(ab)−n=(ba)n(23)−2=(32)2=94\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}

Fracciones con potencias en el numerador y el denominador

Si arriba y abajo hay potencias de la misma base, se restan los exponentes de cada base, como al dividir:

25⋅3223⋅34=25−334−2=2232=49\frac{2^{5} \cdot 3^{2}}{2^{3} \cdot 3^{4}} = \frac{2^{5-3}}{3^{4-2}} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}

Errores frecuentes

  • Elevar solo el numerador

    Mal(23)2=43\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{3}

    Bien(23)2=49\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}

  • Multiplicar por el exponente

    Mal(23)2=46\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{6}

    Bien(23)2=2⋅23⋅3=49\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}

  • Pensar que el exponente negativo da un número negativo

    Mal(23)−2=−49\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = -\frac{4}{9}

    Bien(23)−2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4}

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. (35)2\left(\frac{3}{5}\right)^{2}3252=925\frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}
  2. (12)4\left(\frac{1}{2}\right)^{4}1424=116\frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}
  3. (47)0\left(\frac{4}{7}\right)^{0}11
  4. (23)2⋅23\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \frac{2}{3}(23)3=827\left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}
  5. (52)−1\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}25\frac{2}{5}
  6. (69)2\left(\frac{6}{9}\right)^{2}(23)2=49\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}

Practica sin límite

Tres niveles: cuadrados y cubos; exponente 0 y 1 y fracciones que conviene simplificar antes; y exponente negativo.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se eleva una fracción a una potencia?

Elevando el numerador y el denominador al mismo exponente.

¿Cuánto vale una fracción elevada a 0?

1, siempre que la fracción no sea 0.

¿Qué hace un exponente negativo?

Da la vuelta a la fracción: (23)−2=(32)2\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2}.

¿Cómo se multiplican potencias de fracciones con distinta base y distinto exponente?

Calcula cada potencia por separado y multiplica las fracciones: (12)2⋅(23)3=14⋅827=8108=227\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{8}{108} = \frac{2}{27}.