Función cuadrática

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 9.º a 10.º grado, aproximadamente.

Qué es una función cuadrática

Es una función de la forma y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, con a≠0a \neq 0. Su gráfica es una parábola: si a>0a > 0 se abre hacia arriba y tiene un mínimo, y si a<0a < 0, hacia abajo y tiene un máximo.

xy−8−44−24−20−16−12−8−448y = x² + 6x − 16V

Los elementos de la parábola

  • Vértice: el punto más bajo o más alto.xv=−b2a,yv=f(xv)x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = f(x_v)
  • Eje de simetría: la recta vertical que pasa por el vértice.x=xvx = x_v
  • Corte con el eje Y: se sustituye x = 0.(0,c)(0, c)
  • Cortes con el eje X: se resuelve la ecuación de segundo grado.ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Un ejemplo completo: y = x² + 6x − 16

xv=−62=−3,yv=9−18−16=−25  ⇒  V(−3,−25)x_v = -\frac{6}{2} = -3, \quad y_v = 9 - 18 - 16 = -25 \;\Rightarrow\; V(-3, -25)x2+6x−16=0  ⇒  x=−6±36+642=−6±102  ⇒  x1=2,  x2=−8x^2 + 6x - 16 = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 2, \; x_2 = -8

Corta al eje Y en (0,−16)(0, -16). Como a=1>0a = 1 > 0, se abre hacia arriba.

Cómo representarla

  1. Mira el signo de aa para saber hacia dónde se abre.
  2. Calcula el vértice y dibuja el eje de simetría.
  3. Calcula los cortes con los ejes.
  4. Si hace falta, añade puntos simétricos a ambos lados del eje y únelos con una curva suave.

Errores frecuentes

  • Olvidar el signo menos del vértice

    Maly=x2+6xy = x^2 + 6x: xv=3x_v = 3

    Bienxv=−62=−3x_v = -\frac{6}{2} = -3

  • Equivocar hacia dónde se abre

    Maly=−x2+4y = -x^2 + 4 se abre hacia arriba

    BienHacia abajo, porque a=−1<0a = -1 < 0

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. Vértice de y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3xv=2,  yv=−1  ⇒  V(2,−1)x_v = 2, \; y_v = -1 \;\Rightarrow\; V(2, -1)
  2. Cortes con el eje X de y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3x=1,  x=3x = 1, \; x = 3
  3. Corte con el eje Y de y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3(0,3)(0, 3)
  4. ¿Hacia dónde se abre y=−2x2+x+1y = -2x^2 + x + 1?a=−2<0  ⇒  hacia abajoa = -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{hacia abajo}
  5. Vértice de y=−x2+4x+12y = -x^2 + 4x + 12xv=2,  yv=16  ⇒  V(2,16)x_v = 2, \; y_v = 16 \;\Rightarrow\; V(2, 16)

Practica sin límite

Hacia dónde se abre, cortes con los ejes y vértice. Tres niveles: el más sencillo, con a = 1, y con a distinto de 1. Si te olvidas del signo del vértice, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función cuadrática?

Una función y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c con a≠0a \neq 0. Su gráfica es una parábola.

¿Cómo se calcula el vértice?

Con xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}, y sustituyendo después esa x para obtener la y.

¿Cómo sé si tiene máximo o mínimo?

Si a>0a > 0 tiene un mínimo en el vértice; si a<0a < 0, un máximo.

¿Siempre corta al eje X?

No: si la ecuación de segundo grado no tiene solución, la parábola no toca el eje X.