División de potencias

Para 1.º y 2.º de ESO. En Latinoamérica, para 7.º y 8.º grado, aproximadamente.

Las dos reglas

Misma base: se deja la base y se restan los exponentes, el del dividendo menos el del divisor. $7^4 : 7^2 = 7^{4-2} = 7^2$
Mismo exponente: se dividen las bases y se deja el exponente. $12^3 : 4^3 = (12 : 4)^3 = 3^3$

Si no coinciden ni la base ni el exponente, calcula cada potencia y divide los resultados.

Por qué se restan los exponentes

Escribe la división como una fracción y tacha los factores que se repiten arriba y abajo:

2^5 : 2^3 = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}} = 2 \cdot 2 = 2^2

Arriba hay 5 doses y abajo 3: quedan $5 - 3 = 2$ . Por eso el exponente del resultado es la resta de los exponentes.

Potencias de la misma base

5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4

9^4 : 9 = 9^{4-1} = 9^3

Ojo: un número sin exponente tiene exponente 1, como el 9 del segundo ejemplo.

Potencias con el mismo exponente

Se dividen las bases y se deja el exponente:

15^2 : 5^2 = (15 : 5)^2 = 3^2 = 9

8^3 : 4^3 = (8 : 4)^3 = 2^3 = 8

Por qué un número elevado a 0 vale 1

Divide una potencia entre ella misma. Por un lado, cualquier número dividido entre sí mismo da 1. Por otro, la regla dice que se restan los exponentes:

5^3 : 5^3 = 125 : 125 = 1 \qquad 5^3 : 5^3 = 5^{3-3} = 5^0

Las dos cosas tienen que ser iguales, así que $5^0 = 1$ . Lo mismo vale para cualquier base distinta de 0.

Distinta base y distinto exponente

No se pueden juntar. Calcula cada potencia y divide:

4^3 : 2^4 = 64 : 16 = 4

Para ESO: operaciones combinadas y exponentes negativos

Si hay multiplicaciones y divisiones de la misma base, se suman los exponentes que multiplican y se resta el que divide:

3^5 \cdot 3^2 : 3^4 = 3^{5+2-4} = 3^3

Y si el exponente del divisor es mayor, sale un exponente negativo, que significa «uno partido por»:

2^3 : 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Errores frecuentes

Dividir los exponentes
Mal $2^6 : 2^3 = 2^2$
Bien $2^6 : 2^3 = 2^{6-3} = 2^3$
Sumar los exponentes
Mal $2^6 : 2^3 = 2^9$
Bien $2^6 : 2^3 = 2^3$
Juntar bases y exponentes distintos
Mal $6^5 : 2^3 = 3^2$
Bien $6^5 : 2^3 = 7776 : 8 = 972$
Con el mismo exponente, restarlo
Mal $12^3 : 4^3 = 3^0$
Bien $12^3 : 4^3 = (12 : 4)^3 = 3^3$

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

$5^6 : 5^2$
$5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$
$9^4 : 9$
$9^4 : 9 = 9^{4-1} = 9^3$
$2^7 : 2^7$
$2^7 : 2^7 = 2^{7-7} = 2^0 = 1$
$15^2 : 5^2$
$15^2 : 5^2 = (15 : 5)^2 = 3^2 = 9$
$10^6 : 10^2$
$10^6 : 10^2 = 10^{6-2} = 10^4$
$9^2 : 3^3$
$9^2 : 3^3 = 81 : 27 = 3$
$2^4 \cdot 2^3 : 2^5$
$2^4 \cdot 2^3 : 2^5 = 2^{4+3-5} = 2^2$
$(-2)^6 : (-2)^2$
$(-2)^6 : (-2)^2 = (-2)^{6-2} = (-2)^4 = 16$

Practica sin límite

Cada ejercicio es nuevo y hay tres niveles. Cuando el resultado sea una potencia, escribe la base y el exponente en sus casillas. Si fallas, te decimos en qué te has equivocado.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: elige el nivel y el número de ejercicios y saldrá una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con su solucionario y un código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué se hace con los exponentes al dividir potencias?

Si la base es la misma, se restan: el exponente del dividendo menos el del divisor. Por ejemplo, $7^4 : 7^2 = 7^2$ .

¿Y si tienen el mismo exponente?

Se dividen las bases y se deja el exponente: $12^3 : 4^3 = 3^3$ .

¿Por qué un número elevado a 0 vale 1?

Porque $5^3 : 5^3$ da 1 al dividir y $5^0$ al restar los exponentes, así que los dos resultados tienen que ser iguales.

¿Y si el exponente de abajo es mayor?

Sale un exponente negativo: $2^3 : 2^5 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ . Lo verás en ESO.

¿Se pueden dividir potencias de distinta base y distinto exponente?

Sí, pero sin atajo: se calcula cada potencia y se divide. Por ejemplo, $4^3 : 2^4 = 64 : 16 = 4$ .