Radicales

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 9.º a 10.º grado, aproximadamente.

Qué es un radical

Un radical es una raíz de cualquier índice. El número pequeño es el índice y el de dentro, el radicando. Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario:

amn=amna=a12a43=a43\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \qquad \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}

Propiedades de los radicales

  • Producto: con el mismo índice, se multiplican los radicandos.an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}
  • Cociente: con el mismo índice, se dividen los radicandos.an:bn=a:bn\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}
  • Potencia de un radical: el exponente entra en el radicando.(523)4=583\left(\sqrt[3]{5^2}\right)^4 = \sqrt[3]{5^{8}}
  • Raíz de una raíz: se multiplican los índices.23=26\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}

Simplificar un radical

Si el índice y el exponente del radicando tienen un divisor común, se pueden dividir los dos entre él. Ayuda pasarlo a potencia:

51510=51510=532=53\sqrt[10]{5^{15}} = 5^{\frac{15}{10}} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5^3}

Extraer factores de un radical

Descompón el radicando y saca fuera los factores que tengan un exponente igual o mayor que el índice. En una raíz cuadrada, cada cuadrado perfecto sale fuera con su raíz:

72=23⋅32=22⋅32⋅2=2⋅3⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}803=24⋅53=22⋅53=2103\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{2 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{10}

Introducir factores

Es el camino contrario: el número de fuera entra elevado al índice.

32=32⋅2=183\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}

Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice y el mismo radicando, como 232\sqrt{3} y 535\sqrt{3}. Solo los semejantes se pueden sumar y restar: lo tienes en operaciones con radicales.

Errores frecuentes

  • Sacar el factor sin hacer su raíz

    Mal50=252\sqrt{50} = 25\sqrt{2}

    Bien50=52\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

  • Dejar la extracción a medias

    Mal72=218\sqrt{72} = 2\sqrt{18}

    Bien72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}

  • Repartir la raíz en una suma

    Mal9+16=3+4\sqrt{9 + 16} = 3 + 4

    Bien9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. 12\sqrt{12}4⋅3=23\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}
  2. 50\sqrt{50}25⋅2=52\sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}
  3. 200\sqrt{200}100⋅2=102\sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}
  4. 543\sqrt[3]{54}27⋅23=323\sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}
  5. Introduce el factor en 252\sqrt{5}22⋅5=20\sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20}
  6. Simplifica 246\sqrt[6]{2^4}246=223=223=432^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}

Practica sin límite

Extrae todos los factores que puedas. Tres niveles: raíces cuadradas sencillas, raíces cuadradas mayores y raíces cúbicas. Si te quedas a medias, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un radical?

Una raíz de cualquier índice, como 5\sqrt{5}, 73\sqrt[3]{7} o 104\sqrt[4]{10}.

¿Cómo se pasa un radical a potencia?

El índice va al denominador del exponente: amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}.

¿Cómo se extraen factores de una raíz?

Descompón el radicando en factores primos y saca fuera los que tengan exponente igual o mayor que el índice.

¿Qué son radicales semejantes?

Los que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Solo ellos se pueden sumar y restar.