Raíz cuadrada

Para 6.º de Primaria a 2.º de ESO. En Latinoamérica, de 6.º a 8.º grado, aproximadamente.

Qué es la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da el primero. Es la operación contraria a elevar al cuadrado.

\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \qquad \sqrt{25} = 5 \;\text{porque}\; 5^2 = 25

El número de dentro es el radicando y el resultado, la raíz.

Los números que son el cuadrado de un natural tienen raíz exacta. Conviene saberse estos:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz no es exacta. Su parte entera se encuentra entre los dos cuadrados perfectos más cercanos:

4^2 = 16 < 20 < 25 = 5^2 \;\Rightarrow\; 4 < \sqrt{20} < 5

La parte entera de $\sqrt{20}$ es 4. Con calculadora, $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ .

Vamos a calcular $\sqrt{1369}$ :

Separa el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13 | 69.
Busca el mayor número cuyo cuadrado no pase de 13: es el 3, porque $3^2 = 9$ . Es la primera cifra de la raíz. Resta: $13 - 9 = 4$ .
Baja el siguiente grupo junto al resto: 469. Duplica lo que llevas de raíz: $3 \cdot 2 = 6$ .
Busca una cifra x tal que «6x» por x no pase de 469: $67 \cdot 7 = 469$ . La segunda cifra es 7 y el resto es 0.

\sqrt{1369} = 37 \qquad 37^2 = 1369

Si sobra algo, la raíz no es exacta. Por ejemplo, $\sqrt{2000}$ da 44 y sobran 64, porque $44^2 + 64 = 1936 + 64 = 2000$ .

Con decimales, la raíz tiene la mitad de cifras decimales que el radicando. Con fracciones, se hace la raíz de arriba y la de abajo:

\sqrt{0{,}49} = 0{,}7 \qquad \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \qquad \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

No existe en los números reales: ningún número multiplicado por sí mismo da negativo, porque $(-2)^2 = 4$ . Por eso $\sqrt{-4}$ no es un número real.

Dividir entre 2
Mal $\sqrt{64} = 32$
Bien $\sqrt{64} = 8$
Hacer la raíz de cada sumando
Mal $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7$
Bien $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Colocar mal la coma
Mal $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$
Bien $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

$\sqrt{81}$
$9 \;\text{porque}\; 9^2 = 81$
$\sqrt{196}$
$14 \;\text{porque}\; 14^2 = 196$
Parte entera de $\sqrt{50}$
$49 < 50 < 64 \;\Rightarrow\; 7 < \sqrt{50} < 8 \;\Rightarrow\; 7$
$\sqrt{0{,}09}$
$0{,}3 \;\text{porque}\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$
$\sqrt{\frac{25}{36}}$
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$
$\sqrt{2025}$ a mano
$20|25: \; 4^2 = 16, \; 20 - 16 = 4 \;\to\; 425 : \; 85 \cdot 5 = 425 \;\Rightarrow\; 45$

Tres niveles: raíces exactas y partes enteras; hasta 400 y decimales; y fracciones, decimales y números grandes.

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

¿Cuánto es la raíz cuadrada de 4?

2, porque $2 \cdot 2 = 4$ . También $(-2)^2 = 4$ , pero el símbolo $\sqrt{\phantom{4}}$ indica solo la raíz positiva.

¿Qué es un cuadrado perfecto?

Un número que es el cuadrado de un natural, como 1, 4, 9, 16 o 25. Su raíz cuadrada es exacta.

¿Cómo se calcula una raíz que no es exacta?

Su parte entera, buscando los cuadrados perfectos entre los que está, y los decimales con el método a mano o con calculadora.

¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo?

No en los números reales, porque ningún número al cuadrado da negativo.