Operaciones con radicales

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 9.º a 10.º grado, aproximadamente.

Cómo se opera con radicales

  • Sumar y restar: solo radicales semejantes, sumando los números de delante.34+834−3=934−3\sqrt[4]{3} + 8\sqrt[4]{3} - \sqrt{3} = 9\sqrt[4]{3} - \sqrt{3}
  • Multiplicar y dividir: con el mismo índice, se opera dentro.2⋅3=6183:63=33\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \qquad \sqrt[3]{18} : \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{3}

Sumar extrayendo factores

A veces los radicales no parecen semejantes hasta que extraes factores:

12+27=23+33=53\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}8+18−2=22+32−2=42\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2}

Multiplicar radicales

Se multiplican los números de fuera entre sí y los radicandos entre sí. Después, se extraen factores:

26⋅32=612=6⋅23=1232\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}

Multiplicar con distinto índice

Primero se pasan a un índice común, el mínimo común múltiplo de los índices:

2⋅23=236⋅226=256=326\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}

Dividir radicales

50:2=25=572:2=36=6\sqrt{50} : \sqrt{2} = \sqrt{25} = 5 \qquad \sqrt{72} : \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6

Potencias de radicales

(3)2=3(25)2=4⋅5=20\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3 \qquad \left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \cdot 5 = 20

Errores frecuentes

  • Sumar los radicandos

    Mal2+8=10\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}

    Bien2+22=32\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}

  • Olvidar multiplicar los radicandos

    Mal23⋅43=832\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

    Bien23⋅43=8⋅3=242\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24

  • Sumar radicales no semejantes

    Mal2+3=5\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}

    Bien2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} se deja así

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. 35+253\sqrt{5} + 2\sqrt{5}555\sqrt{5}
  2. 20+45\sqrt{20} + \sqrt{45}25+35=552\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
  3. 3⋅12\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}36=6\sqrt{36} = 6
  4. 26⋅322\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2}612=1236\sqrt{12} = 12\sqrt{3}
  5. 72:2\sqrt{72} : \sqrt{2}36=6\sqrt{36} = 6
  6. (32)2\left(3\sqrt{2}\right)^29⋅2=189 \cdot 2 = 18

Practica sin límite

Tres niveles: radicales semejantes y productos sencillos; extraer antes de operar; y tres términos, coeficientes y cocientes. Si sumas lo de dentro, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se pueden sumar dos radicales?

Solo cuando son semejantes: mismo índice y mismo radicando. A veces hay que extraer factores para que lo sean.

¿Cómo se multiplican radicales?

Con el mismo índice, se multiplican los radicandos y los números de fuera. Con distinto índice, primero se pasan a un índice común.

¿Es lo mismo √2 + √3 que √5?

No. 2+3≈3,15\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15 y 5≈2,24\sqrt{5} \approx 2{,}24: no se pueden sumar y se dejan indicados.

¿Cuánto es (√3)²?

3: elevar al cuadrado una raíz cuadrada la deshace.