Intervalos

Para 3.º y 4.º de ESO y Bachillerato. En Latinoamérica, de 9.º a 11.º grado, aproximadamente.

Qué es un intervalo

Un intervalo es un trozo de la recta real: todos los números entre dos extremos. El corchete [ ] indica que el extremo está incluido y el paréntesis ( ), que no.

[2, 5) = \{x \in \mathbb{R} : 2 \le x < 5\}

En el dibujo, el extremo incluido es un círculo relleno y el excluido, un círculo vacío.

Los tipos de intervalos

Tipo	Intervalo	En la recta
Abierto	$(a, b)$ $a < x < b$
Cerrado	$[a, b]$ $a \le x \le b$
Semiabierto	$(a, b]$ $a < x \le b$
Semiabierto	$[a, b)$ $a \le x < b$
Semirrecta	$(a, +\infty)$ $x > a$
Semirrecta	$(-\infty, b]$ $x \le b$

El infinito siempre va con paréntesis

El infinito no es un número, así que nunca se puede incluir: lleva siempre paréntesis. Los números mayores o iguales que 2 son $[2, +\infty)$ , nunca $[2, +\infty]$ .

Saber si un número pertenece a un intervalo

Escribe la desigualdad y comprueba si el número la cumple. Los extremos son los casos delicados:

3 \in (1, 3] \;\text{porque}\; 1 < 3 \le 3 \qquad 3 \notin (1, 3) \;\text{porque}\; 3 < 3 \;\text{es falso}

Unión e intersección

La unión, $\cup$ , junta los dos intervalos. La intersección, $\cap$ , se queda solo con la parte común:

[1, 5] \cup (3, 8) = [1, 8) \qquad [1, 5] \cap (3, 8) = (3, 5]

Errores frecuentes

Poner corchete en el infinito
Mal $[2, +\infty]$
Bien $[2, +\infty)$
Confundir abierto y cerrado
Mal $x \le 4 \to (-\infty, 4)$
Bien $x \le 4 \to (-\infty, 4]$
Escribir los extremos al revés
Mal $(5, 2)$
Bien $(2, 5)$

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

¿ $3 \in (1, 3)$ ?
$\text{No: } 3 < 3 \text{ es falso}$
¿ $3 \in [1, 3]$ ?
$\text{Sí: } 1 \le 3 \le 3$
Escribe $x \ge 2$
$[2, +\infty)$
Escribe $-1 < x \le 4$
$(-1, 4]$
Escribe $x < 0$
$(-\infty, 0)$
$[1, 5] \cap (3, 8)$
$(3, 5]$

Practica sin límite

Tres niveles: si un número pertenece a un intervalo, extremos e intervalos, y semirrectas. Si te equivocas con un corchete, te decimos por qué.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre corchete y paréntesis?

El corchete incluye el extremo y el paréntesis no: $[2, 5]$ incluye el 2 y el 5, y $(2, 5)$ no.

¿Qué es un intervalo semiabierto?

El que incluye solo uno de los dos extremos, como $[2, 5)$ o $(2, 5]$ .

¿Qué es una semirrecta?

Un intervalo que llega hasta el infinito, como $(3, +\infty)$ .

¿El infinito puede ir con corchete?

No, nunca: el infinito no es un número y no se puede incluir.