Fracciones algebraicas Para 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato. En Latinoamérica, de 9.º a 11.º grado, aproximadamente.
Qué es una fracción algebraica Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Se opera igual que con las fracciones de números: para simplificar, se factorizan el numerador y el denominador y se tachan los factores comunes.
5 x ( x + 2 ) 2 25 x 2 ( x + 2 ) = 5 x ( x + 2 ) ( x + 2 ) 5 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ x ( x + 2 ) = x + 2 5 x \frac{5x(x + 2)^2}{25x^2(x + 2)} = \frac{5x(x + 2)(x + 2)}{5 \cdot 5 \cdot x \cdot x (x + 2)} = \frac{x + 2}{5x} 25 x 2 ( x + 2 ) 5 x ( x + 2 ) 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ x ( x + 2 ) 5 x ( x + 2 ) ( x + 2 ) = 5 x x + 2 En esta lección
Simplificar Solo se tachan factores , nunca sumandos. Primero hay que factorizar:
x 2 − 9 x + 3 = ( x + 3 ) ( x − 3 ) x + 3 = x − 3 \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3} = x - 3 x + 3 x 2 − 9 = x + 3 ( x + 3 ) ( x − 3 ) = x − 3 Reducir a común denominador 2 x y 3 x − 1 ⇒ 2 ( x − 1 ) x ( x − 1 ) = 2 x − 2 x 2 − x y 3 x x ( x − 1 ) = 3 x x 2 − x \frac{2}{x} \;\text{y}\; \frac{3}{x - 1} \;\Rightarrow\; \frac{2(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{2x - 2}{x^2 - x} \;\text{y}\; \frac{3x}{x(x - 1)} = \frac{3x}{x^2 - x} x 2 y x − 1 3 ⇒ x ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) = x 2 − x 2 x − 2 y x ( x − 1 ) 3 x = x 2 − x 3 x Sumar y restar Con el mismo denominador, se suman los numeradores. Por ejemplo, con denominador común x ( x + 1 ) ( x − 1 ) x(x + 1)(x - 1) x ( x + 1 ) ( x − 1 )
6 x − 2 x + 1 + 8 x − 1 − x − 2 x = ( 6 x − 2 ) x ( x − 1 ) + 8 x ( x + 1 ) − ( x − 2 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) x ( x + 1 ) ( x − 1 ) \frac{6x - 2}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{x - 2}{x} = \frac{(6x - 2)x(x - 1) + 8x(x + 1) - (x - 2)(x + 1)(x - 1)}{x(x + 1)(x - 1)} x + 1 6 x − 2 + x − 1 8 − x x − 2 = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( 6 x − 2 ) x ( x − 1 ) + 8 x ( x + 1 ) − ( x − 2 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 11 x − 2 x ( x + 1 ) ( x − 1 ) = \frac{5x^3 + 2x^2 + 11x - 2}{x(x + 1)(x - 1)} = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) 5 x 3 + 2 x 2 + 11 x − 2 Multiplicar y dividir Como con números: en línea para multiplicar y en cruz para dividir. Después, simplifica:
8 x 4 2 x ⋅ 4 x − 5 = 32 x 4 2 x ( x − 5 ) = 16 x 3 x − 5 \frac{8x^4}{2x} \cdot \frac{4}{x - 5} = \frac{32x^4}{2x(x - 5)} = \frac{16x^3}{x - 5} 2 x 8 x 4 ⋅ x − 5 4 = 2 x ( x − 5 ) 32 x 4 = x − 5 16 x 3 8 x 4 2 x : 4 x − 5 = 8 x 4 ( x − 5 ) 8 x = x 3 ( x − 5 ) = x 4 − 5 x 3 \frac{8x^4}{2x} : \frac{4}{x - 5} = \frac{8x^4(x - 5)}{8x} = x^3(x - 5) = x^4 - 5x^3 2 x 8 x 4 : x − 5 4 = 8 x 8 x 4 ( x − 5 ) = x 3 ( x − 5 ) = x 4 − 5 x 3 Errores frecuentes Tachar sumandos
Mal x + 3 x = 3 \frac{x + 3}{x} = 3 x x + 3 = 3
Bien x + 3 x \frac{x + 3}{x} x x + 3
Simplificar sin factorizar
Mal x 2 − 9 x − 3 = x − 3 \frac{x^2 - 9}{x - 3} = x - 3 x − 3 x 2 − 9 = x − 3
Bien ( x + 3 ) ( x − 3 ) x − 3 = x + 3 \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = x + 3 x − 3 ( x + 3 ) ( x − 3 ) = x + 3
Restar sin paréntesis
Mal − x − 2 x → − x − 2 - \frac{x - 2}{x} \to -x - 2 − x x − 2 → − x − 2
Bien − x − 2 x → − ( x − 2 ) = − x + 2 - \frac{x - 2}{x} \to -(x - 2) = -x + 2 − x x − 2 → − ( x − 2 ) = − x + 2
Ejercicios resueltos Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.
6 x 3 + 4 x 2 2 x \frac{6x^3 + 4x^2}{2x} 2 x 6 x 3 + 4 x 2 3 x 2 + 2 x 3x^2 + 2x 3 x 2 + 2 x x 2 − 25 x + 5 \frac{x^2 - 25}{x + 5} x + 5 x 2 − 25 x − 5 x - 5 x − 5 x 2 + 6 x + 9 x + 3 \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3} x + 3 x 2 + 6 x + 9 x + 3 x + 3 x + 3 x 2 + 5 x + 6 x + 2 \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2} x + 2 x 2 + 5 x + 6 x + 3 x + 3 x + 3 1 x + 2 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} x 1 + x + 1 2 x + 1 + 2 x x ( x + 1 ) = 3 x + 1 x ( x + 1 ) \frac{x + 1 + 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)} x ( x + 1 ) x + 1 + 2 x = x ( x + 1 ) 3 x + 1 x x − 2 ⋅ x − 2 3 \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3} x − 2 x ⋅ 3 x − 2 x 3 \frac{x}{3} 3 x Practica sin límite Simplifica cada fracción hasta que quede un polinomio. Tres niveles: factor común, identidades notables y trinomios.
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Ficha para imprimir Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.
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Preguntas frecuentes ¿Qué es una fracción algebraica? El cociente de dos polinomios, como x + 1 x − 2 \frac{x + 1}{x - 2} x − 2 x + 1
¿Cómo se simplifica? Factorizando el numerador y el denominador y tachando los factores que se repiten arriba y abajo.
¿Por qué no se pueden tachar sumandos? Porque solo se puede dividir arriba y abajo por lo mismo si es un factor de todo el numerador y todo el denominador.
¿Cómo se suman fracciones algebraicas? Igual que las numéricas: se reducen a común denominador y se suman los numeradores.
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Identidades notables También te puede servir: factorización y fracciones .