Identidades notables

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 8.º a 10.º grado, aproximadamente.

Las tres identidades notables

  • Cuadrado de una suma.(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • Cuadrado de una diferencia.(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • Suma por diferencia.(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Ejemplos

(x+3)2=x2+6x+9(2x−5)2=4x2−20x+25(x+4)(x−4)=x2−16(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \qquad (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \qquad (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Usarlas al revés

Sirven para factorizar: si ves un trinomio con dos cuadrados y su doble producto, o una diferencia de cuadrados, puedes escribirlo como producto.

x2+10x+25=(x+5)29x2−1=(3x+1)(3x−1)x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \qquad 9x^2 - 1 = (3x + 1)(3x - 1)

Por qué funcionan

Son multiplicaciones de polinomios hechas de una vez:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Errores frecuentes

  • Olvidar el doble producto

    Mal(x+3)2=x2+9(x + 3)^2 = x^2 + 9

    Bien(x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9

  • No elevar el coeficiente

    Mal(2x+1)2=2x2+4x+1(2x + 1)^2 = 2x^2 + 4x + 1

    Bien(2x+1)2=4x2+4x+1(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1

  • Poner un más en la diferencia de cuadrados

    Mal(x+4)(x−4)=x2+16(x + 4)(x - 4) = x^2 + 16

    Bien(x+4)(x−4)=x2−16(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. (x+7)2(x + 7)^2x2+14x+49x^2 + 14x + 49
  2. (x−6)2(x - 6)^2x2−12x+36x^2 - 12x + 36
  3. (3x+2)2(3x + 2)^29x2+12x+49x^2 + 12x + 4
  4. (5x−1)2(5x - 1)^225x2−10x+125x^2 - 10x + 1
  5. (2x+3)(2x−3)(2x + 3)(2x - 3)4x2−94x^2 - 9
  6. Escribe como cuadrado x2−8x+16x^2 - 8x + 16(x−4)2(x - 4)^2

Practica sin límite

Desarrolla con la identidad notable o, en el nivel 3, escribe el trinomio como cuadrado de un binomio. Si te olvidas del doble producto, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué son las identidades notables?

Multiplicaciones que salen tan a menudo que conviene saberse el resultado de memoria.

¿Cuál es la fórmula del cuadrado de una suma?

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

¿Por qué (a + b)² no es a² + b²?

Porque al multiplicar (a+b)(a+b)(a + b)(a + b) salen dos veces abab: ese es el doble producto.

¿Para qué sirven al revés?

Para factorizar polinomios y simplificar fracciones algebraicas.