Progresión geométrica

Para 2.º y 3.º de ESO. En Latinoamérica, de 8.º a 9.º grado, aproximadamente.

Qué es una progresión geométrica

Es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, la razón rr.

an=a1⋅r n−1Sn=a1⋅(rn−1)r−1a_n = a_1 \cdot r^{\,n - 1} \qquad S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}

Ejemplos

a1=6,  r=2  ⇒  a5=6⋅24=96a1=14,  r=5  ⇒  a3=14⋅52=350a_1 = 6, \; r = 2 \;\Rightarrow\; a_5 = 6 \cdot 2^4 = 96 \qquad a_1 = 14, \; r = 5 \;\Rightarrow\; a_3 = 14 \cdot 5^2 = 350

Si la razón es negativa, los signos se alternan: 3, −6, 12, −24…

La suma de sus términos

3+6+12+24+48=3⋅(25−1)2−1=933 + 6 + 12 + 24 + 48 = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = 93

Errores frecuentes

  • Elevar a n en lugar de a n − 1

    Mala3=14⋅53=1750a_3 = 14 \cdot 5^3 = 1750

    Biena3=14⋅52=350a_3 = 14 \cdot 5^2 = 350

  • Sumar la razón en lugar de multiplicar

    Mal6, 8, 10… con r = 2

    Bien6, 12, 24…

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. a1=5,  r=3a_1 = 5, \; r = 3: calcula a4a_45⋅33=1355 \cdot 3^3 = 135
  2. Razón de 4, 12, 36…12:4=312 : 4 = 3
  3. a1=2,  r=−2a_1 = 2, \; r = -2: calcula a5a_52⋅16=322 \cdot 16 = 32
  4. Suma de 1 + 2 + 4 + … (8 términos)28−1=2552^8 - 1 = 255

Practica sin límite

El término n, la razón y la suma. Tres niveles. Si elevas a n en lugar de a n − 1, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una progresión geométrica?

Una sucesión en la que se multiplica siempre por el mismo número, la razón.

¿Cuál es su término general?

an = a1 · rn − 1.

¿Cómo se calcula la razón?

Dividiendo un término entre el anterior.