Racionalización

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 9.º a 10.º grado, aproximadamente.

Qué es racionalizar

Racionalizar es quitar las raíces del denominador. Se consigue multiplicando el numerador y el denominador por la expresión adecuada, así que la fracción no cambia de valor:

23=2⋅33⋅3=233\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

Tipo 1: una raíz cuadrada en el denominador

Se multiplica arriba y abajo por esa misma raíz:

abc=acbc⋅c=acbc\frac{a}{b\sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}}{bc}538=583⋅8=5824=10224=5212\frac{5}{3\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{8}}{3 \cdot 8} = \frac{5\sqrt{8}}{24} = \frac{10\sqrt{2}}{24} = \frac{5\sqrt{2}}{12}

Tipo 2: raíces de otro índice

Se multiplica por la raíz que completa el exponente hasta el índice. Si abajo hay cmn\sqrt[n]{c^m}, se multiplica por cn−mn\sqrt[n]{c^{n-m}}:

423=422323⋅223=4432=243\frac{4}{\sqrt[3]{2}} = \frac{4\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} = 2\sqrt[3]{4}61147=625711227⋅257=625722=325711\frac{6}{11\sqrt[7]{4}} = \frac{6\sqrt[7]{2^5}}{11\sqrt[7]{2^2} \cdot \sqrt[7]{2^5}} = \frac{6\sqrt[7]{2^5}}{22} = \frac{3\sqrt[7]{2^5}}{11}

Tipo 3: sumas y restas con raíces

Se multiplica por el conjugado: la misma expresión con el signo del medio cambiado. Así abajo queda una diferencia de cuadrados sin raíces:

ab+c=a(b−c)(b+c)(b−c)=a(b−c)b−c\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c})} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}85+2=8(5−2)5−2=85−823\frac{8}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{8\sqrt{5} - 8\sqrt{2}}{3}21+3=2(1−3)1−3=2(1−3)−2=3−1\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{-2} = \sqrt{3} - 1

Por qué se racionaliza

Una fracción sin raíces abajo es más fácil de comparar, de sumar con otras y de calcular a mano: dividir entre 3 es más sencillo que dividir entre 3=1,732…\sqrt{3} = 1{,}732\ldots

Errores frecuentes

  • Multiplicar solo el denominador

    Mal23=23\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}

    Bien23=233\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

  • Cambiar los dos signos en el conjugado

    Mal5+2→−5−2\sqrt{5} + \sqrt{2} \to -\sqrt{5} - \sqrt{2}

    Bien5+2→5−2\sqrt{5} + \sqrt{2} \to \sqrt{5} - \sqrt{2}

  • No simplificar al final

    Mal63=633\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}

    Bien63=23\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

  1. 12\frac{1}{\sqrt{2}}22\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. 63\frac{6}{\sqrt{3}}633=23\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
  3. 525\frac{5}{2\sqrt{5}}5510=52\frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}
  4. 326\frac{3}{2\sqrt{6}}3612=64\frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}
  5. 223\frac{2}{\sqrt[3]{2}}2432=43\frac{2\sqrt[3]{4}}{2} = \sqrt[3]{4}
  6. 43−1\frac{4}{\sqrt{3} - 1}4(3+1)3−1=23+2\frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 2\sqrt{3} + 2

Practica sin límite

Racionaliza y simplifica. Tres niveles: una raíz cuadrada sola abajo, un número por una raíz, y raíces cúbicas. Si te olvidas de simplificar, te lo decimos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué es racionalizar?

Transformar una fracción con raíces en el denominador en otra equivalente sin raíces abajo.

¿Por qué número se multiplica?

Si abajo hay c\sqrt{c}, por c\sqrt{c}. Si hay cmn\sqrt[n]{c^m}, por cn−mn\sqrt[n]{c^{n-m}}. Si hay una suma o resta con raíces, por su conjugado.

¿Qué es el conjugado?

La misma expresión con el signo del medio cambiado: el conjugado de 5+2\sqrt{5} + \sqrt{2} es 5−2\sqrt{5} - \sqrt{2}.

¿Cambia el valor de la fracción?

No: se multiplica arriba y abajo por lo mismo, que es como multiplicar por 1.