Números reales

Para 3.º y 4.º de ESO. En Latinoamérica, de 9.º a 10.º grado, aproximadamente.

Qué son los números reales

Los números reales, R\mathbb{R}, son todos los números que se pueden situar en una recta: los racionales, que se pueden escribir como fracción, y los irracionales, que no.

N⊂Z⊂Q⊂RI⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \qquad \mathbb{I} \subset \mathbb{R}

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La clasificación de los números reales

ConjuntoQué númerosEjemplos
Naturales N\mathbb{N}Los de contar0,  6,  40, \; 6, \; \sqrt{4}
Enteros Z\mathbb{Z}Naturales y negativos−3,  −123,  −273-3, \; -\frac{12}{3}, \; \sqrt[3]{-27}
Racionales Q\mathbb{Q}Los que se pueden escribir como fracción13,  4,86,  0,6^\frac{1}{3}, \; 4{,}86, \; 0{,}\hat{6}
Irracionales I\mathbb{I}Infinitas cifras decimales sin periodo2,  −3,  π,  e\sqrt{2}, \; -\sqrt{3}, \; \pi, \; e

Números racionales

Son los que se pueden escribir como una fracción de dos enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica:

34=0,7513=0,333…=0,3^\frac{3}{4} = 0{,}75 \qquad \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\hat{3}

Números irracionales

Tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, así que no se pueden escribir como fracción. Los más conocidos:

  • Las raíces no exactas.2=1,41421…\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots, 3\sqrt{3}, 53\sqrt[3]{5}…
  • El número π.Es lo que mide la circunferencia dividida entre su diámetro: π=3,14159…\pi = 3{,}14159\ldots
  • El número de oro.Φ=1+52=1,61803…\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}61803\ldots
  • El número e.e=2,71828…e = 2{,}71828\ldots

Cómo clasificar un número

Antes de clasificarlo, simplifícalo. Una raíz exacta o una fracción que da un entero engañan a primera vista:

16=4∈N−123=−4∈Z94=32∈Q\sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N} \qquad -\frac{12}{3} = -4 \in \mathbb{Z} \qquad \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \in \mathbb{Q}

Se da siempre el conjunto más pequeño: 4 también es entero, racional y real, pero lo más preciso es decir que es natural.

Lecciones del tema

Errores frecuentes

  • Pensar que toda raíz es irracional

    Mal16∈I\sqrt{16} \in \mathbb{I}

    Bien16=4∈N\sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N}

  • Pensar que los decimales periódicos son irracionales

    Mal0,333…∈I0{,}333\ldots \in \mathbb{I}

    Bien0,333…=13∈Q0{,}333\ldots = \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}

  • Creer que π vale 3,14

    Malπ=3,14\pi = 3{,}14

    Bienπ≈3,14\pi \approx 3{,}14: es solo una aproximación

Practica sin límite: clasifica números

Elige el conjunto más pequeño al que pertenece cada número. Hay tres niveles: números a la vista, disfrazados, y con raíces y decimales periódicos o no periódicos.

Ficha para imprimir

Para profes y familias: una ficha lista para imprimir o guardar en PDF, con solucionario y código QR para corregirla desde el móvil.

Preguntas frecuentes

¿Qué son los números reales?

El conjunto formado por los racionales y los irracionales: todos los números que se pueden situar en la recta numérica.

¿Qué diferencia hay entre racional e irracional?

Un racional se puede escribir como fracción y su decimal es exacto o periódico. Un irracional tiene infinitas cifras decimales sin periodo.

¿La raíz de 2 es irracional?

Sí: 2=1,41421…\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots no tiene periodo ni se puede escribir como fracción.

¿Hay números que no sean reales?

Sí, como −4\sqrt{-4}, que no existe en los reales. En Bachillerato se estudian los números complejos.